Matematik Eğitimi Profesürü Sinan Olkun, “Mevcut ilköğretim müfredatı ile cebir öğretiminin anlamlı olması mümkün değildir” başlıklı bir yazı kaleme aldı.
Daha önceki yazılarında uluslararası sınavlardaki Geometri “başarımıza” dikkat çeken Olkun, çözüm önerilerini kavramlar arası bağların kurulması ve çocuk tarafından bu ilişkilerin algılanabilmesi için yapılması gerekenler olarak sıraladı.
Olkun’un yazısı şu şekilde:
“Daha önce 22 Eylül 2022 tarihli Cumhuriyet gazetesinde çıkan yazımda uluslararası sınavlarda Geometri başarımızın düşüklüğünden ve öğretim programımızdaki bu başarısızlığı doğuran nedenlerden bahsetmiştim. Yine aynı yazımda cebir öğretimizde de benzer sorunların olduğunu belirtmiş ve buna ileride değineceğimi yazmıştım. Şimdi bu yazımda bu sözümü tutup cebir öğretimizdeki eksiklik ve kopukluklar ile bunları düzeltme önerilerinden bahsedeceğim.
Matematiksel kavramlar bir sarmal gibi birbirine eklemlenerek ve birbiri üzerine inşa edilerek oluşturulmaktadır. Bu nedenle aralarında kopukluklar olmaması gerekir. Nitekim uluslararası sınavlarda görece daha başarılı olan ülkelerin öğretim programlarına baktığımızda cebir öğretiminin Sayılar ve Cebir (Numbers and Algebra) öğrenme alanı olarak okul öncesine kadar indiği görülmektedir. 6. Sınıfa kadar yapılan uygulamalar için ön-cebir ya da cebir öncesi olarak dilimize çevirebileceğimiz pre-Algebra terimi kullanılmaktadır. Ancak bütün olarak cebirsel düşünme ifadeleri de geçmektedir. Bizim öğretim programımızda (İMDÖP, 2018) ise “Cebir öğrenme alanına ilişkin kazanımlar ilk olarak 6. sınıfta yer almaktadır” (s.13) ifadesi yer almaktadır. Böylece Cebir’in ve cebirsel düşünmenin önceki öğrenilenler ile ya da kısaca aritmetik ile birlikte öğrenilenlerle bir ilişkisi olmadığı zımnen vurgulanmış olmaktadır. Oysa aynı müfredat kitapçığının (İMDÖP, 2018) ilerleyen sayfalarında “Program’da yer alan cebir öğrenme alanı, matematiksel düşüncenin önemli bir alt boyutu olan cebirsel düşünme açısından matematik öğretimi alanında yapılan çalışmalar dikkate alınarak, ulusal ve uluslararası çalışmalar incelenerek hazırlanmıştır” (s.15) denilmektedir.
Cebirsel düşünmenin temelleri okul öncesinde atılmaya başlar demiştik. Bu evrede kullanılan örüntülerdeki yineleme yani tekrar eden öge algılanmaya çalışılır. İlerleyen sınıf düzeyi ile ya da çocuklardaki düşünmenin gelişimine paralel olarak kavramlar da gelişir. Örneğin: Örneğin örüntü başlarda sabit ögeli ve tekrar ederken, daha sonra değişerek tekrar eder, zamanla artarak devam eder. Benzer şekilde bu ilişkilerin kurallarının sembolle yazılması önce matematik cümlesi, daha sonraları ise eşitlik, denklem, fonksiyon şeklinde bir gelişime uğrar. Yani çocuğun lisede fonksiyonu anlayabilmek için denklemi iyi anlamış olması, denklemi anlayabilmek için eşitlik/eşitsizlik kavramlarını ve nihayet bunları anlayabilmek için de matematik cümlesini çok yönlü anlamış, öğrenmiş olması gerekir. Peki, bu durumda şu sorulara yanıt arayalım: 1) Müfredatımızda bu kavramlar var mı? 2) Sırasıyla mı? 3) İlişkilendirilmiş mi? Yani birbiri üzerine mi bina ediliyor?
“Matematik cümlesi” ilk olarak 1. Sınıfın başlarındaki toplama ve çıkarma işlemlerine ait 2 kazanımda verilen açıklamalarda geçiyor. “c) Öğrenci işleme ait matematik cümlesini yazar” (s.27). Yine aynı sayfada ve önceki kazanımlardan birinde “a) Toplama işleminin sembolü (+) ve eşit işareti (=) tanıtılır ve anlamları üzerinde durulur” (s.27) şeklindeki bir uyarı ile eşit işareti ve anlamına vurgu yapılmaktadır. “Eşitlik” kavramı ise ilk defa 2. Sınıfta çıkarma işlemi kazanımları altında bir kazanım olarak verilmektedir.
“M.2.1.3.5. Eşit işaretinin matematiksel ifadeler arasındaki “eşitlik” anlamını fark eder.
Eşit işaretinin her zaman işlem sonucu anlamı taşımadığı, eşitliğin iki tarafındaki matematiksel ifadelerin denge durumunu da (eşitliğini) gösterdiği vurgulanır.
Örneğin 5+6=10+1; 15-3= 18-6; 8+7 = 20-5; 18= 16+2” s.33.
Daha sonra 4. Sınıfta tekrar iki kazanımda eşitlik kavramı geçmektedir.
“M.4.1.5.7. Aralarında eşitlik durumu olan iki matematiksel ifadeden birinde verilmeyen değeri belirler ve eşitliğin sağlandığını açıklar.
Örneğin 8 + ?= 15 – 3 12 : 4 = ?+ 1 6 x O= 48 – 12
M.4.1.5.8. Aralarında eşitlik durumu olmayan iki matematiksel ifadenin eşit olması için yapılması gereken işlemleri açıklar.
Örneğin 8+5 ? 12-3 ifadesinde eşitlik durumunun sağlanabilmesi için yapılabilecek işlemler üzerinde durulur.” s.46.
Aritmetiğin cebire evrilmesindeki önemli diğer iki kavram da “bilinmeyen” ve “değişken” kavramlarıdır. Bir matematik cümlesinde bilinmeyen yerine soru işareti ya da kutu konulabilir. Daha sonra bu örneğin bir alan formülünde harfli ifadelere dönüşür. Müfredatımız ise 6. Sınıfın başlarında dahi harfli ifade kullanımını özellikle yasaklamıştır (İMDÖP, 2018:s58). Fakat ne hikmetse Cebir öğrenme alanının ilk kazanımında harfli ifadelerin sayıların yerine kullanılacağı belirtilmektedir. Ancak bu kazanımdan çok önce programda kullanıldığını görüyoruz. Hem de kullanılmaması gerektiği uyarısından yalnızca bir sayfa sonra.
“b) Kuralların kullanımında harfli ifadelere yer verilmez” (s.58)
“M.6.1.4. Tam Sayılar
Terimler veya kavramlar: tam sayı, pozitif tam sayı, negatif tam sayı, mutlak değer
Semboller: Z , Z+, Z-, -a-” (s.59)
Fakat yine 2 sayfa sonra harfli ifade geçmeden cebirsel ifadelerdeki harfler denilerek harfli ifadeler verilmeye, daha doğrusu serbest bırakılmaya çalışılıyor.
“M.6.2.1.1. Sözel olarak verilen bir duruma uygun cebirsel ifade ve verilen bir cebirsel ifadeye uygun sözel bir durum yazar.
a) Cebirsel ifadelerde kullanılan harflerin sayıları temsil ettiği ve “değişken” olarak adlandırıldığı belirtilir.
b) En az bir değişken ve işlem içeren ifadelerin “cebirsel ifadeler” olduğu vurgulanır.
c) Terim, sabit terim, benzer terim ve katsayı kavramları ele alınır” (s.61)
Hâlbuki bu kazanımdan önce harfli ifade kullanımı hep yasaklandı. Harfli ifadelerin kullanımına ve gerekliliğine ilişkin bir uygulama da yok. Kutu bile kullanılmadı. Oysa değişkenden önce bilinmeyen kavramı olmalıdır. Bu “bilinmeyen” için önce kutu gibi somut bir nesne, arkasından da bilinmeyen yerine sırasıyla sözcük (örneğin alan), daha sonra bu sözcüğün baş harfi (A), sonra da herhangi bir harfli ifade kullanılmalıydı. Daha sonra bilinmeyen en az ikiye çıktığında bunun artık değişken olduğu, bunlardan birinin bağımsız değişken, diğerinin ise ona bağımlı değişken olacağı somut durumlar ile verilebilirdi, verilmeliydi. Peki, bu durumda çocuk ne yapacak? Öğretmen ne diyorsa onu ezberlemeye çalışacaktır. Matematik açısından çok kapasiteli öğrenciler elbette bu çıkarımı kendi kendilerine yaparken varlıklı, olanaklı çocuklar belki özel ders veya ek bir eğitim ile bunu telafi edecektir. Ancak sessiz çoğunluk bu bağlantıyı kuramadığı için matematik bana göre değilmiş, ben sözelciymişim vb. söylemlere sığınacaktır. Nitekim olan durum tam da budur.
Müfredattaki bir başka sorun ise, Cebir öğrenme alanında verilen ilk kazanımlar “anlayarak öğrenme felsefesine” göre değil “önce ezberlenir sonra anlam kazandırılır” yaklaşımına uygun düzenlenmiştir.
“M.6.2.1. Cebirsel İfadeler
Terimler veya kavramlar: cebirsel ifade, değişken, katsayı, terim, sabit terim, benzer terim
M.6.2.1.1. Sözel olarak verilen bir duruma uygun cebirsel ifade ve verilen bir cebirsel ifadeye uygun sözel bir durum yazar.
a) Cebirsel ifadelerde kullanılan harflerin sayıları temsil ettiği ve “değişken” olarak adlandırıldığı belirtilir.
b) En az bir değişken ve işlem içeren ifadelerin “cebirsel ifadeler” olduğu vurgulanır.
c) Terim, sabit terim, benzer terim ve katsayı kavramları ele alınır.
M.6.2.1.2. Cebirsel ifadenin değerini değişkenin alacağı farklı doğal sayı değerleri için hesaplar.
M.6.2.1.3. Basit cebirsel ifadelerin anlamını açıklar.
Bu düzeyde 4a, a/5, 2±a/5 biçimindeki cebirsel ifadelerin anlaşılmasına yönelik çalışmalara yer verilir.
Örneğin a + a + a + a = 4a, 2b = b + b,
(3+c)/5 = 3/5 + c/5, d/5 = (1/5).d gibi işleme dayalı uygulamaların yanı sıra aşağıda örneklendiği gibi uygun modellerle çalışmalar yapılır.
a
a a a ise a + a + a = 3.a = 3a” (s.62)
Eğer somuttan-soyuta, bilinenden-bilinmeyene, ilkeleri uygulanacaksa ve çocuklar kavramı önce algılayıp-anlayıp sonra genişleteceklerse bu 3 kazanımın sırasının tersine çevrilmesi gerekir. Fakat ne mümkün? Öğretim programının daha başlarında kazanım sırasının değiştirilmesi bir uyarı ile kısıtlanmıştır.
Program’da yer alan cebir öğrenme alanı, matematiksel düşüncenin önemli bir alt boyutu olan cebirsel düşünme açısından matematik öğretimi alanında yapılan çalışmalar dikkate alınarak, ulusal ve uluslararası çalışmalar incelenerek hazırlanmıştır. Cebir öğrenme alanına ait kazanımlar işlenirken kazanımların sırasına dikkat edilmeli ve yeri geldiğinde diğer öğrenme alanlarında bulunan kazanımlarla ilişkilendirilmelidir. (s.15)
Olmayan harfli ifadeler temelinin üzerine bir ağırlık da Geometri öğrenme alanında konulmaktadır.
M.6.3.2.1. Üçgenin alan bağıntısını oluşturur, ilgili problemleri çözer.
a) Noktalı veya kareli kâğıtta üçgenlerde yükseklik çizme çalışmalarına yer verilir. Geniş açılı üçgenlerdeki yükseklikler de ele alınır.
b) Üçgenin alan bağıntısı oluşturulurken dikdörtgenin alan bağıntısından yararlanılabilir.
Dikkat ediniz dikdörtgen ya da karenin alanı hesaplandı ancak alan bağıntıları daha önce oluşturulmadı. Ama burada “yararlanılabilir” diyor. Yararlanılır bari denilseydi. O zaman en azından kullanılması garanti olurdu. Çünkü alan bağıntılarının birbiri üzerine bina edilebilmesi için önce dikdörtgen-kare, daha sonra dikdörtgene kolayca dönüştürülebilen paralelkenar ve bunların köşegenle bölünen yarısı olarak üçgen alanlarının bulunması gerekir.
Çözüm nedir? Kavramlar arası bağların kurulması ve çocuk tarafından bu ilişkilerin algılanabilmesi ve keşfedilebilmesi için yapılması gerekenler:
1) İlkokulun ilk 4 yılında matematik cümlesi ve bilinmeyen kavramlarının birlikte kullanılması ve bilinmeyen yerine matematik cümlesi içinde kutu veya benzeri bir ikon kullanılabilmesi,
2) Dördüncü sınıfta dikdörtgen ve kare için ilk alan bağıntısı geliştirme çalışmaları sırasında bilinmeyen yerine sözcük kullanılmaya başlanması örneğin Alan=6×4 = 24cm2 gibi.
3) Beşinci sınıfta örüntüler içinde ve alan bağıntıları içinde harfli ifadelerin görsel modellerle birlikte kullanılması
4) Altıncı sınıfta üçgen alan bağıntısından önce dikdörtgen ve kare alan bağıntılarının oluşturulması daha sonra paralelkenar ve sonra da üçgen bağıntısının elde edilmesine yönelik kazanıma geçilmelidir.
5) Altıncı sınıf seviyesinde “öğrencilerden sayı örüntülerinde istenilen terimi bulmaları, cebirsel ifadeleri anlamlandırmaları hedeflenmektedir” (İMDÖP, 2018:s.13) denilmektedir. İşte tam da burada harfli ifadeler kullanılarak örüntülerin genel ifadelerine geçiş yapılabilir. Bu geçiş cebirsel düşünmenin gelişimi için yaşamsal öneme sahiptir.
6) Bu konu ile ilgili olarak cebirsel düşünmenin yol haritası başlığı YouTube üzerinde ile bir video yayımladım. Merak edenlerin izlemesini tavsiye ederim.
Bir dahaki yazımda sayı kavramının öğretiminde yapılan hatalara, eksikliklere ve düzeltme önerilerine değineceğim.
Kaynaklar:
**MDÖP (2018). İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı. MEB: Ankara.
